Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且点P_n（a_n+1，S_n）（n∈N^*）在函数f（x）=x+1的图象上．
（1）求a₁的值；
（2）若数列{b_n}满足：，且b₂=5．求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）利用条件把an+1和Sn的关系式找到，再求出前3项，利用等比数列的性质即可求出a1的值；
（2）先求出等比数列{an}的前n项和为Sn，代入求出数列{bn}的通项与前n项和为之间的关系式，再利用此关系式推出数列{bn}为等差数列，结合b2=5即可求数列{bn}的通项公式．
【解析】
（1）因为点Pn（an+1，Sn）在函数f（x）=x+1的图象上，
所以Sn=an+1+1（n∈N*），因为S1=a1=a2+1，a2=a1-1，a1+a2=S2=a3+1，a3=2a1-2．
又数列{an}为等比数列，所以a22=a1a3，即（a1-1）2=a1（2a1-2），
故a1=-1，或a1=1（舍去）．
（2）由（1）知数列{an}是以a1=-1为首项，q=2为公比的等比数列．
所以=1-2n，1-Sn=2n．
由=，
得2（b1+b2+..+bn）=2n+nbn对n∈N*成立．①
则2（b1+b2+…+bn+bn+1）=2（n+1）+（n+1）bn+1对n∈N*成立．②
②-①，得2bn+1=2+（n+1）bn+1-nbn，即（n-1）bn+1+2=nbn对n∈N*成立．③
则有nbn+2+2=（n+1）bn+1对n∈N*成立．④
④-③，得nbn+2-（n-1）bn+1=（n+1）bn+1-nbn，n（bn+2+bn）=2nbn+1，
即bn+2+bn=2bn+1对n∈N*成立．由等差数列定义，知{bn}为等差数列．
当n=1时，由①式得2b1=2+b1，b1=2，则公差d=b2-b1=3，
所以bn=2+3（n-1）=3n-1（n∈N*）．