Question

加试题：已知曲线，过P₁（1，0）作y轴的平行线交曲线C于Q₁，过Q₁作曲线C的切线与x轴交于P₂，过P₂作与y轴平行的直线交曲线C于Q₂，照此下去，得到点列P₁，P₂，…，和Q₁，Q₂，…，设，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：b₁+b₂+…+b_n＞2ⁿ-2^-n；
（3）求证：曲线C与它在点Q_n处的切线，以及直线P_n+1Q_n+1所围成的平面图形的面积与正整数n的值无关．

Answer

（1）本题由导数可求出过点Qn的直线方程，即直线QnPn+1的方程，进而可以求出点Qn与点Qn+1之间横坐标的关系xn+1=2xn，从而可求出xn的通项公式，由由于数列an与yn相等，故将xn通项公式代入函数解析式即可求解．
（2）借助（1）中的xn和yn与an的等式关系，可知Qn和Qn+1坐标，由此求出bn的通项公式，并借助不等式a2+b2≥2ab的推导公式2（a2+b2）≥a2+b2+2ab=（a+b）2的变式≥a+b进行放缩后，由等比数列求和公式即可证明其结论．
（3）由图形可知，所求面积的图形为不规则的曲边三角形，故可结合定积分的几何意义来借助定积分计算公式进行面积的计算．
【解析】
（1）∵．
设Qn（xn，yn），则直线QnPn+1的方程为，
令y=0，得xn+1=xn+xn2yn，∵xnyn=1，∴xn+1=2xn，
则数列{xn}是首项为1，公比为2的等比数列，于是xn=2n-1．
从而．
（2）∵，
∴=
=
=．
利用2（a2+b2）≥（a+b）2（a＞0，b＞0），
当且仅当a=b时取等号，得．
于是
=
=．
（3）曲边三角形QnPn+1Qn+1是由曲线与直线Pn+1Qn+1、切线QnPn+1所围成的图形．于是
==
==