Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA1=A₁C
（Ⅰ）试判断A₁A与平面A₁BC是否垂直，并说明理由；
（Ⅱ）求底面ABC与侧面BB₁C₁C所成二面角的余弦值．

Answer

（I）取AC中点D，连接A1D，由已知中侧面ACC1A1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，利用反证法证明A1A与平面A1BC不垂直；
（II）利用三垂线定理，作出∠CFE即为所求侧面BB1C1C与地面A1B1C1所成的锐二面角的平面角，然后解三角形CFE即可求出底面ABC与侧面BB1C1C所成二面角的余弦值．
【解析】
（I）取AC中点D，连接A1D，则A1D⊥AC．
又∵侧面ACC1A1与底面ABC垂直，交线为AC，
∵A1D⊥面ABC（2分）
∴A1D⊥BC．
假设AA1与平面A1BC垂直，则A1A⊥BC．
又A1D⊥BC，由线面垂直的判定定理，
BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC，
这样在△ABC中有两个直角，与三角形内角和定理矛盾．
假设不成立，所以AA1不与平面A1BC垂直（5分）
（II）侧面BB1C1C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB1C1C与A1B1C1底面所成的锐二面角．
过点C作A1C1的垂线CE于E，则CE⊥面A1B1C1，B1C1⊥CE．
过点E作B1C1的垂线EF于F，连接CF．
因为B1C1⊥EF，B1C1⊥CE，所以B1C1⊥面EFC，B1C1⊥CF
所以∠CFE即为所求侧面BB1C1C与底面A1B1C1所成的锐二面角的平面角（9分）
由 ，EF=1，得
在Rt△ABC中，cos∠CFE=
所以，侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为（12分）