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如图,AB是⊙O的直径,弦CA、BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点...

如图,AB是⊙O的直径,弦CA、BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:
(1)∠DEA=∠DFA;
(2)AB2=BE•BD-AE•AC.

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(1)连接AD,利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系,通过证明A,D,E,F四点共圆即可证得结论; (2)由(1)知,BD•BE=BA•BF,再利用三角形△ABC∽△AEF得到比例式,最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD-AE•AC. 证明:(1)连接AD,因为AB为圆的直径, 所以∠ADB=90°,(1分) 又EF⊥AB,∠AFE=90°,(1分) 则A,D,E,F四点共圆(2分) ∴∠DEA=∠DFA(1分) (2)由(1)知,BD•BE=BA•BF,(1分) 又△ABC∽△AEF∴,即AB•AF=AE•AC(2分) ∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•(BF-AF)=AB2(2分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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