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高中数学试题
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已知f(x)=x3-x2-2x+c,常数c是实数. (I)当f(x)取得极小值时...
已知f(x)=x
3
-
x
2
-2x+c,常数c是实数.
(I)当f(x)取得极小值时,求实数x的值;
(II)当-1≤x≤2时,求f(x)的最大值.
(II)当-1≤x≤2时,不等式f(x)<c
2
恒成立,求c的取值范围.
(I)由题意得f′(x)=3x2-x-2所以方程f′(x)=3x2-x-2=0的两个根为-和1,又因为当,当x>1时,f′(x)>0,所以可得到答案. (II)f′(x)=3x2-x-2∵当x∈[-1,-)时,f′(x)>0,当x时,f′(x)<0,当x∈(1,2]时,f′(x)>0,由导数的几何意义得到函数的单调性,通过函数的单调性可得当-≤x≤2时,f(x)的最大值只可能在x=-或者在x=2处取到,可得f(2)>f(-),所以f(x)的最大值为f(2)=2+c. (III)当-1≤x≤2时,f(x)<c2恒成立的充要条件是f(x)最大值<c2,所以f(2)<c2即c2>2+c. 【解析】 (I)∵f(x)=x3-x2-2x+c ∴f′(x)=3x2-x-2 ∴方程f′(x)=3x2-x-2=0的两个根为-和1, ∵当 当x>1时,f′(x)>0, ∴当x=1时,f(x)取得极小值. (II)由(I)知:f′(x)=3x2-x-2 ∵当x∈[-1,-)时,f′(x)>0, 当x时,f′(x)<0, 当x∈(1,2]时,f′(x)>0, ∴当x∈[-1,-)时,f(x)是增函数. 当x时,f(x)是减函数. 当x∈(1,2]时,f(x)是增函数. 所以当-≤x≤2时,f(x)的最大值只可能在x=-或者在x=2处取到. 又因为f()=,f(2)=2+c 所以f(2)>f(-) 所以当-1≤x≤2时,f(x)的最大值为f(2)=2+c. (III)当-1≤x≤2时,f(x)<c2恒成立的充要条件是f(x)最大值<c2 所以f(2)<c2即c2>2+c,解得c<-1或c>2. 所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).
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考点分析:
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