Question

已知n是正整数，数列{a_n}的前n项和为S_n，对任何正整数n，等式S_n=-a_n+（n-3）都成立．
（I）求数列{a_n}的首项a₁；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设数列{na_n}的前n项和为T_n，不等式2T_n≤（2n+4）S_n+3是否对一切正整数n恒成立？若不恒成立，请求出不成立时n的所有值；若恒成立，请给出证明．

Answer

（I）在等式中，令n=1．解关于a1的方程．
（II）当n≥2时，，变形转化得出数列{}是等比数列，求出{}的通项公式，进而求出数列{an}的通项公式．
（III），用分组求和法求出Tn，代入关系式，整理，考查不等式恒成立成立与否，注意分离参数思想方法的使用，及求含n的式子的最值．
【解析】
（I）当n=1时，，解得．
   （II）当n≥2时，，则
因此数列{}是首项为-1，公比为的等比数列，
∴=
∴
 数列{an}的通项公式是
 （III）不等式2Tn≤（2n+4）Sn+3对一切正整数n都成立，
∵，
∴-
令
则
上面两式相减：

即
∴=
∵=
∴2Tn-（2n+4）Sn==
∴当n=2或n=3时，的值最大，最大值为3，
∴对一切正整数n.2Tn-（2n+4）Sn≤3
∴不等式2Tn-（2n+4）Sn+3对一切正整数n都成立．