Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4．E、F分别是棱CC₁、AB中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥BB₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-ECBB₁的体积；
（Ⅲ）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，并加以证明．

Answer

（1）要证CF⊥BB1，只需证明BB1⊥平面ABC；由三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱可以得出；
（2）要求四棱锥A-ECBB1的体积，需先求底面ECBB1（直角梯形）的面积；四棱锥的高是AC（需证明），再由体积公式可得；
（3）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，由CF⊄平面AEB1，可猜想CF∥平面AEB1；要证明线面平行，需证线线平行即可．
【解析】
如图，
（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面ABC；
又∵CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1．

（Ⅱ）【解析】
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面ABC．
又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
且BB1∩BC=B，∴AC⊥平面ECBB1．
∴四棱锥的体积为
．
由E是棱CC1的中点，∴．
∴．
∴．

（Ⅲ）【解析】
CF∥平面AEB1．现证明如下：
取AB1的中点G，连接EG，FG．∵F、G分别是棱AB、AB1中点，
∴FG∥BB1，且BB1．
又∵EC∥BB1，且，∴FG∥EC，且FG=EC．
∴四边形FGEC是平行四边形．∴CF∥EG．
又∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，
∴CF∥平面AEB1．