Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D为AC的中点，A₁D⊥平面ABC，A₁B⊥AC_l
（I）求证：AC₁⊥A_lC；
（Ⅱ）求三棱锥C_l-ABC的体积．

Answer

（I）先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直的性质证明线线垂直；
（II）先由线面垂直求棱锥的高，再根据三棱锥的体积公式计算即可
【解析】
（I）证明：∵A1D⊥平面ABC，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，
又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面AA1C1C，∴BC⊥AC1，
∵A1B⊥AC1，∴AC1⊥平面A1BC，
∴AC1⊥A1C．
（II）∵AA1C1C是平行四边形，由（I）知AC1⊥A1C，
∴四边形AA1C1C是菱形，∴AA1=AC=2，
∵A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥AC，
∴点D为AC的中点，∴AD=1，A1D=，
∴===．
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