Question

已知函数f（x）=1nx-x．
（I）若不等式 xf（x）≥-2x²+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）若关于x的方程 f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解（e为自然对数的底数），求实数b的值．

Answer

（I）分离出参数a后转化为求函数的最值问题解决，构造函数，利用导数可求得函数的最值；
（Ⅱ）lnx-x-x3+2ex2-bx=0在（0，+∞）上有唯一解，即=x2-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，构造函数h（x）=，x＞0，利用导数可求得x=e时h（x）取得最大值，构造函数k（x）=x2-2ex+（b+1），由二次函数的性质可得x=e时k（x）取得最小值，欲满足题意，只需h（x）max=k（x）min，由此可求得b值；
【解析】
（I）由题意得xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，即a≤lnx+x+对一切x∈（0，+∞）恒成立，
设g（x）=lnx+x+，x＞0，则g′（x）=，
当0＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）在（0，3）上单调递减，当x＞3时，g′（x）＞0，g（x）在（3，+∞）上单调递增，
所以g（x）min=g（3）=7+ln3，
所以a∈（-∞，7+ln3]；
（Ⅱ）由题意得，lnx-x-x3+2ex2-bx=0在（0，+∞）上有唯一解，即=x2-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，
设h（x）=，x＞0，则h′（x）=，
令h′（x）＞0，则0＜x＜e；令h′（x）＜0，则x＞e，
所以h（x）max=h（e）=；
设k（x）=x2-2ex+（b+1），则k（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
所以k（x）min=k（e）=b+1-e2，
所以当且仅当b+1-e2=时，方程=x2-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，
所以b=-1．