Question

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx，若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，e）处公共切线．
（I）求a，b的值；
（II）记h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）的单调性．

Answer

（I）利用导数的运算法则可得f′（x），g′（x），由题意可得，解出即可；
（II）利用（I）即可得到h（x），利用导数的运算法则即可得到h′（x），即可得到其单调性．
【解析】
（I）由已知可得f′（x）=2ax，g′（x）=3x2+b，
由题意可得，即，
解得a=b=3．
（II）由（I）可得f（x）=3x2+1，g（x）=x3+3x，
∴h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2+3x+1，
∴h′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，
因此h（x）在R上单调递增．