Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
（I）求证：DE∥面PBC；
（II）求证：AB⊥PE；
（III）求三棱锥B-PEC的体积．

Answer

（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；
（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB⊥PE；
（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P-BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P-BEC的体积，即得三棱锥B-PEC的体积．
【解析】
（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC
∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；
（II）连结PD
∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB
∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，
又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE
∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；
（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB
∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P-BEC的高
又∵PD=，S△BEC=S△ABC=
∴三棱锥B-PEC的体积V=VP-BEC=S△BEC×PD=