Question

如图所示，f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：
①若a＞0，对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立；
②函数g（x）是奇函数的充要条件是b=0；
③∀a∈R，g（x）的导函数g'（x）有两个零点．
④若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
其中所有正确结论的序号是    ．

Answer

①需根据函数的单调性来进行判断；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数，反之，也成立；
③由g（x）的极值点的个数，判断导函数g'（x）有多少个零点；
④此命题可由函数的图象及参数的取值范围进行判断．
【解析】
①由图象知，函数f（x）在区间[-1，1]上为增函数，故当a＞0时，g（x）=af（x）+b在[-1，1]上也为增函数
故对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立，故命题正确；
②当b=0时，则函数g（x）=af（x）是一个奇函数，反之，当是g（x）是奇函数时，由于g（x）=af（x）+b，则必有b=0；
③∀a∈R，由g（x）的极值点有两个，判断导函数g'（x）有2个零点；
④由于本题中没有具体限定b的范围，故无法判断g（x）=0有几个根．综上①②③正确
故答案为①②③．