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函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[m,n]⊆D,使得函数f(x)满足:①f...

函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[m,n]⊆D,使得函数f(x)满足:①f(x)在[m,n]上是单调函数;②f(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为y=f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有    (填上所有正确的序号)
①f(x)=x2(x≥0);②f(x)=ex(x∈R);③f(x)=manfen5.com 满分网;④f(x)=manfen5.com 满分网
根据函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②,或,对四个函数分别研究,从而确定是否存在“倍值区间”. 【解析】 函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②,或. ①f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[a,b], 则,∴,∴, ∴f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[0,2]; ②f(x)=ex(x∈R),若存在“倍值区间”[a,b], 则,∴, 构建函数g(x)=ex-x,∴g′(x)=ex-1, ∴函数在(-∞,0)上单调减,在(0,+∞)上单调增, ∴函数在x=0处取得极小值,且为最小值. ∵g(0)=1,∴,g(x)>0,∴ex-x=0无解,故函数不存在“倍值区间”; ③f(x)=(x≥0),f′(x)==, 若存在“倍值区间”[a,b]⊆[0,1], 则,∴,∴a=0,b=1,若存在“倍值区间”[0,1]; ④f(x)=loga(ax-)(a>0,a≠1).不妨设a>1,则函数在定义域内为单调增函数 若存在“倍值区间”[m,n], 则, , ∴, ∴2m,2n是方程loga(ax-)=2x的两个根, ∴2m,2n是方程a2x-ax+=0的两个根, 由于该方程有两个不等的正根,故存在“倍值区间”[m,n]; 综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④. 故答案为:①③④.
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A.1
B.2
C.3
D.4
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