Question

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；
（2）求证：BD⊥平面PAC；
（3）求三棱锥D-PBC 体积．

Answer

（1）根据线面平行判定定理，由AB∥CD证出CD∥平面PAB，再由线面平行的性质定理，即可证出CD∥m；
（2）直角梯形ABCD中，证出△BAD∽△ADC，可得∠ABD+∠BAC=90°，从而BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD证出BD⊥PA，结合线面垂直判定定理，即可证出BD⊥平面PAC；
（3）根据梯形ABCD的上、下底和高D长，求出梯形ABCD的面积为6，进而得出S△BCD=2．再根据PA⊥平面ABCD且PA=4，利用锥体体积公式即可算出三棱锥P-BCD体积，即得三棱锥D-PBC体积．
【解析】
（1）∵AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，
∴CD∥平面PAB
又∵CD⊂平面PCD，平面PAB∩平面PCD=m，∴CD∥m；
（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，∴∠BAD=∠ADC
又∵AB=4，AD=2，CD=2，∴
因此，△BAD∽△ADC，可得∠ABD=∠DAC=90°-∠BAC
∴∠ABD+∠BAC=90°，得BD⊥AC
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA
∵AC、PA是平面PAC内的相交直线，∴BD⊥平面PAC；
（3）∵梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，
∴S梯形ABCD=（AB+CD）×AD=×6×=6
∵AB：CD=2：1，∴S△BCD=S梯形ABCD=2
又∵PA⊥平面ABCD，PA=4
∴…（12分）