Question

若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x，使f（x+k）=f（x）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”
（1）函数f（x）=2^x+x²是否关于1可线性分解？请说明理由；
（2）已知函数g（x）=lnx-ax+1（a＞0）关于a可线性分解，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，当a取最小整数时，求g（x）的单调区间．

Answer

（1）函数f（x）=2x+x2关于1可线性分解．理由如下：令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2x-1+x-1），h（0）=-1，h（1）=2．
由零点存在定理可得：存在零点x∈（0，1），使得h（x）=0，即f（x+1）=f（x）+f（1）．
（2）由题意，存在x，使g（x+a）=g（x）+g（a），化为ln（x+a）=lnx+lna+1，即，
可得，利用x＞0及a＞0，即可解得a的取值范围．
（3）由（2）可知：a=1，可得g（x）=lnx-x+1.．分别解出g′（x）＜0与g′（x）＞0的x的取值范围即可得出其单调区间．
【解析】
（1）函数f（x）=2x+x2关于1可线性分解．理由如下：
令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2x+1+（x+1）2-2x-x2-2-1，
化为h（x）=2（2x-1+x-1），h（0）=-1，h（1）=2，
∴存在零点x∈（0，1），使得h（x）=0，即f（x+1）=f（x）+f（1）．
（2）由题意，存在x，使g（x+a）=g（x）+g（a），
即ln（x+a）-a（x+a）+1=，
化为ln（x+a）=lnx+lna+1，即，
∴，解得，
由a＞0，得．
（3）由（2）可知：a=1，可得g（x）=lnx-x+1．
．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）的单调递增区间是（0，1）；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（1，+∞）．