Question

温州某私营公司生产一种产品，根据历年的情况可知，生产该产品每天的固定成本为14000元，每生产一件该产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量f（x）与产量x之间的关系式为，每件产品的售价g（x）与产量x之间的关系式为．
（Ⅰ）写出该公司的日销售利润Q（x）与产量x之间的关系式；
（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．

Answer

（I）先求出总成本c（x）的函数，然后根据日销售利润Q（x）=f（x）g（x）-c（x）求出所求；
（II）讨论x的范围，然后利用导数研究函数的最值，分别求出最值，从而求出整个函数的最值，从而得到结论．
【解析】
（Ⅰ）总成本为c（x）=14000+210x．（1分）
所以日销售利润Q（x）=f（x）g（x）-c（x）=．（5分）
（Ⅱ）①当0≤x≤400时，．
令Q′（x）=0，解得x=100或x=700．
于是Q（x）在区间[0，100]上单调递减，在区间[100，400]上单调递增，
所以Q（x）在x=400时取到最大值，且最大值为30000；（8分）
②当x＞400时，Q（x）=-210x+114000＜30000．
综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．（10分）