Question

数列{a_n}满足a₁=，a_n+1=．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜n-ln（）．

Answer

（Ⅰ）方法一，对数列递推式变形，证明是首项为-2，公差为-1的等差数列，从而可求求数列{an}的通项公式；
方法二，计算前几项，猜想通项，再利用数学归纳法进行证明；
（Ⅱ）设F（x）=ln（x+1）-x，证明函数F（x）为（0，+∞）上的减函数，可得ln（x+1）＜x（x＞0），从而 ，进而可得结论．
（Ⅰ）【解析】
方法一：，
所以．                                  …（3分）
所以是首项为-2，公差为-1的等差数列．                     …（4分）
所以，所以．                                 …（6分）
方法二：，，，猜测．                   …（2分）
下用数学归纳法进行证明．
①当n=1时，由题目已知可知，命题成立；                    …（3分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时成立，即，那么
当n=k+1，，
也就是说，当n=k+1时命题也成立．                               …（5分）
综上所述，数列{an}的通项公式为．                       …（6分）
（Ⅱ）证明：设F（x）=ln（x+1）-x（x＞0）
则…（8分）
函数F（x）为（0，+∞）上的减函数，所以F（x）＜F（0）=0，即ln（x+1）＜x（x＞0）
从而 ，…（10分），…（11分）
∴Sn＜（1-ln3+ln2）+（1-ln4+ln3）+…+[1-ln（n+2）+ln（n+1）]…（13分）
∴…（14分）