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在△ABC中,lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,是三边a,b,...

在△ABC中,lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,是三边a,b,c成等比数列的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
先由条件lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列推出sinA,sinB,sinC的关系,然后利用正弦定理判断和a,b,c的关系.从而确定是充分条件还是必要条件. 【解析】 在△ABC中,若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,则lgsinA+lgsinC=2lgsinB,即lgsinAsinC=lgsin2B,所以sinAsinC=sin2B, 由正弦定理得ac=b2,所以三边a,b,c成等比数列. 若三边a,b,c成等比数列,则ac=b2,由正弦定理得sinAsinC=sin2B,所以lgsinA+lgsinC=lgsinAsinC=lgsin2B=2lgsinB, 所以lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列. 所以在△ABC中,lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,是三边a,b,c成等比数列的充要条件. 故选C.
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