Question

设x₁，x₂是函数f（x）=（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：|b|≤．

Answer

（Ⅰ）求导函数，可得x1，x2是方程f′（x）=0的两个实数根，利用韦达定理，结合|x1|+|x2|=2，即可证明0＜a≤1；
（Ⅱ）设g（a）=4a2-4a3，证明g（a）在区间上是增函数，在区间上是减函数，即可得到结论．
证明：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax2+bx-a2
∵x1，x2是f（x）的两个极值点，
∴x1，x2是方程f′（x）=0的两个实数根．…（3分）
∵a＞0，∴
∴
∵|x1|+|x2|=2
∴即b2=4a2-4a3
∵b2≥0，∴0＜a≤1…（7分）
（Ⅱ）设g（a）=4a2-4a3，则g′（a）=8a-12a2=4a（2-3a）
由得g（a）在区间上是增函数，在区间上是减函数，…（11分）
∴
∴…（13分）