Question

若F₁F₂为双曲线-=1的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足=，=
（1）求此双曲线的离心率；
（2）若此双曲线过点N（2，），求双曲线方程；
（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B₁，B₂（B₁在y轴正半轴上），求B₂作直线AB与双曲线交于A B两点，求⊥时，直线AB的方程．

Answer

（1）先由知四边形PF1OM为平行四边形，再利用得PF1OM为菱形，所以就有
求出离心率e即可．
（2）由（1）求出的离心率e以及双曲线过点N（2，），可以求出c，a进而求出双曲线方程；
（3）先设出直线AB的方程，再与双曲线方程联立，求出关于A，B两点坐标的方程，再利用⊥⇒x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，就可求出对应的直线的斜率，进而求出直线AB的方程．
【解析】
（1）由知四边形PF1OM为平行四边形，
又由
知OP平分∠F1OM，∴PF1OM为菱形，
设半焦距为c，由=c 知=c，
，∴，
又，即
e2-e-2=0，∴e=2（e=-1舍去）（4分）
（2）∵e=2=∴c=2a，∴双曲线方程为，
将点（2，）代入，有∴a2=3．
即所求双曲线方程为．（8分）
（3）依题意得B1（0，3），B2（0，-3）
设直线AB的方程为y=kx-3，A（x1，y1）B（x2，y2）．
则由．
∵双曲线的渐近线为y=±x，∴k=±时，AB与双曲线只有一个交点，
即k≠±∵x1+x2=-，x1•x2=．
y1+y2=k（x1+x2）-6=，y1y2=k2x1x2-k（x1+x2）+9=9
又=（x1，y1-3），=（x2，y2-3），
⇒x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，
∴，即k2=5∴k=±．
故所求直线AB的方程为y=x-3或y=-x-3．（14分）