Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=，a_n+1=S_n+（n∈N^*，t为常数）．
（Ⅰ）若数列{a_n}为等比数列，求t的值；
（Ⅱ）若t＞-4，b_n=lga_n+1，数列{b_n}前n项和为T_n，当且仅当n=6时T_n取最小值，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，结合数列{an}为等比数列，即可求t的值；
（Ⅱ）确定数列{bn}是等差数列，利用当且仅当n=6时，Tn取最小值，可得b6＜0且b7＞0，解不等式，即可求t的取值范围．
【解析】
（I）∵
（1）-（2）得：an+1=2an（n≥2）…（2分）
∵数列{an}为等比数列，∴…..（4分）
∵，a1=，
∴，∴t=4…（6分）
（II），an+1=2an（n＞1），∴…．（8分）
∵a2，a3，a4…an+1成等比数列，bn=lgan+1，
∴数列{bn}是等差数列
∵数列{bn}前n项和为Tn，当且仅当n=6时，Tn取最小值，∴b6＜0且b7＞0…（10分）
可得0＜a7＜1且a8＞1，…（12分）
∴0＜16+4t＜1且32+2t＞1，
∴…（14分）