Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=，点E为线段AD上的一点．现将△DCE沿线段EC翻折到PAC，使得平面PAC⊥平面ABCE，连接PA，PB．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）利用面面垂直的性质，即可证明BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC，并取AO中点F，连接EF，可得∠PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，从而求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，
∵AB=AD=4，
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）【解析】
如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC，并取AO中点F，连接EF，
∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，PH⊥AC
∴PH⊥平面ABCE，∴∠PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，
由（Ⅰ）可知，AC⊥BD，且，，
又PE=2，，设CH=x，则有，
又∵F为AO的中点，在Rt△EFH中，，EF=1
由勾股定理得，，解得，
∴，
∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即．