Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x定义域为[-2，t]（t＞-2）．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）当1＜t＜4时，求满足的x的个数．

Answer

（Ⅰ）先求导，要使函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，则导数符号不变化．
（Ⅱ）将方程零点个数问题，转化为方程解的个数问题．然后利用函数与方程去求解．
（1）【解析】
因为f'（x）=（x2-3x+3）ex+（2x-3）ex=x（x-1）ex   由f'（x）＞0得x＞1或x＜0；由f'（x）＜0得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，欲f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．-----（7分）
（3）因为，所以由，即为，
令，从而问题转化为求方程在[-2，t]上的解的个数，--------（10分）
因为，，
所以当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于，
所以g（x）=0在[-2，t]上有两解．
即，满足的x的个数为2．--------（14分）