Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且满足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），则的取值范围是    ．

Answer

求导数，利用导函数f′（x）=x2+ax+b的图象开口朝上且x1∈（0，1），x2∈（1，2），得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．
【解析】
∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，
∴x1，x2是导函数f′（x）=x2+ax+b的两根
由于导函数f′（x）=x2+ax+b的图象开口朝上且x1∈（0，1），x2∈（1，2），
∴
满足条件的约束条件的可行域如图所示：
令Z=，则其几何意义是区域内的点与（0，3）连线的斜率，
∴由，可得a=-3，b=2
∴∈（）
∵=，
∴=时，的最小值为，=3时，=
∴的取值范围是，
故答案为：