Question

已知函数是奇函数．
（1）求m的值；
（2）请讨论它的单调性，并给予证明．

Answer

（1）由函数奇偶性的定义可知，f（-x）+f（x）=0，将f（x）的解析式代入求解m即可．
（2）先求出f（x）的定义域，因为函数是奇函数，故只要先判断f（x）在（0，1）内的单调性即可，可由单调性的定义直接判断．
【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）+f（x）=0；
即，解得：m=1，其中m=-1（舍）；
经验证当m=1时，确是奇函数．
（2）先研究f（x）在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1＜x2，则
，
，
得f（x1）-f（x2）＞0，即f（x）在（0，1）内单调递减；
由于f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f（x）在（-1，0）内单调递减．