Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₅=5，若（6-a₁）=a₂+a₃，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点）；点列（n，b_n）在函数x的反函数的图象上．
（1）求a_n和b_n；
（2）记数列C_n=a_nb_n+b_n（n∈N^*），若{C_n}的前n项和为T_n，求使不等式成立的最小自然数n的值．

Answer

（1）利用三点共线的结论，可得6-a1=a2+a3，结合a5=5，求出首项与公差，可求an；利用点列（n，bn）在函数x的反函数的图象上，可求bn；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求和，即可求得结论．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，则
∵（6-a1）=a2+a3，且A、B、C三点共线，
∴由三点共线的条件，可得6-a1=a2+a3，∴a1+d=2，
∵a5=5，∴a1+4d=5，
∴d=1，a1=1，
∴an=n；
∵点列（n，bn）在函数x的反函数的图象上
∴；
（2）Cn=anbn+bn=，
∴Tn=，
∴Tn=
两式相减，可得Tn==
∴Tn=
∴3-Tn=
∴等价于
∴n＞6
∴使不等式成立的最小自然数n的值为7．