Question

已知数列{a_n}的前n项和．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由，n∈N*，知a1=3，．所以an+1=，即an+1=3an，由此能求出{an}的通项公式．
（2）对于任意的n∈N*，有k•an≥4n+1成立，等价于，因为是单调减数列，所以，由此能求出实数k的取值范围．
【解析】
（1）∵，n∈N*，
∴，
解得a1=3．
∵，n∈N*，
∴．
两式相减，得an+1=，
∴an+1=3an，
∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列，
从而{an}的通项公式是an=3n，n∈N*．
（2）由（1）知，对于任意的n∈N*，有k•an≥4n+1成立，
等价于对任意的n∈N*成立，
等价于，
而==＜1，n∈N+，
∴是单调减数列，
∴，
∴实数k的取值范围是．