Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．
（I）当m=1时，求函数f（x）的单调递减区间；
（II）求函数f（x）的极值；
（III）若函数f（x）在区间[0，e²-1]上恰有两个零点，求m的取值范围．

Answer

（I）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用f'（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间；
（II）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极值；
（III）由（II）问可知，当m≤0时，在区间[0，e2-1]不可能恰有两个零点；当m＞0时，利用0为f（x）的一个零点，结合f（x）在[0，e2-1]恰有两个零点，建立不等式，即可求m的取值范围．
（I）【解析】
依题意，函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当m=1时，f（x）=ln（1+x）-x，∴…（2分）
由f'（x）＜0得，即，解得x＞0或x＜-1，
又∵x＞-1，∴x＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．                  …（4分）
（II）求导数可得，（x＞-1）
（1）m≤0时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值．…（6分）
（2）m＞0时，由于，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，
从而．      …（9分）
（III）由（II）问显然可知，
当m≤0时，f（x）在区间[0，e2-1]上为增函数，∴在区间[0，e2-1]不可能恰有两个零点．      …（10分）
当m＞0时，由（II）问知f（x）极大值=，
又f（0）=0，∴0为f（x）的一个零点．         …（11分）
∴若f（x）在[0，e2-1]恰有两个零点，只需
即，
∴…（13分）