Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=a₁-9，a₅，a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）证明：对任意k∈N⁺，S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列．

Answer

（1）由题意可建立，解之可得，进而可得通项公式；
（2）由（1）可求Sk，进而可得Sk+2，Sk+1，由等差中项的定义验证Sk+1+Sk+2=2Sk即可
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q，
则，解得，
故数列{an}的通项公式为：an=（-2）n-1，
（2）由（1）可知an=（-2）n-1，
故Sk==，
所以Sk+1=，Sk+2=，
∴Sk+1+Sk+2==
==，
而2Sk=2===，
故Sk+1+Sk+2=2Sk，即Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列