Question

如图在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD=DE=2BF=2．
（I）求证：AC⊥EF；
（II）求二面角C-EF-D的大小；
（III）设G为CD上一动点，试确定G的位置使得BG∥平面CEF，并证明你的结论．

Answer

（I）建立坐标系，利用向量的数量积为0，即可证明AC⊥EF；
（II）取为平面EFD的法向量，求出平面CEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角C-EF-D的大小；
（III）若BG∥平面CEF，只需，则可得G为CD的中点时，BG∥平面CEF．
（I）证明：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F（2，2，1），E（0，0，2）
∴
∴=-2×2+2×2+（-1）×0=0
∴AC⊥EF；
（II）【解析】
∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥ED
∵AC⊥EF，∴取为平面EFD的法向量
∴=（-2，2，0）
设平面CEF的法向量为=（x，y，1），∴
∵=（0，2，-2），
∴
∴
∴
设二面角C-EF-D的大小为θ，则
cosθ===
∵θ∈[0，π]，∴
（III）【解析】
设G（0，y，0），y∈[0，2]
若BG∥平面CEF，只需，又=（-2，y，0）
∴=（-2，y-2，0）•（-，1，1）=1+y-2+0=0
∴y=1
∴G点坐标为（0，1，0）
即当G为CD的中点时，BG∥平面CEF．