Question

某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ＜5的为二等品，ξ＜3的为三等品．
若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；

（I）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；
（II）已知该厂生产一件产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ζ的关系式为，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和数学期望．

Answer

（I）由样本数据，结合行业规定，确定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）确定Z的可能取值为：2，3，4，5，6，8．用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得Z的分布列，从而可求数学期望．
【解析】
（I）由样本数据知，30件产品中等级系数ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------（3分）
∴样本中一等品的频率为 =0.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2--------（4分）
二等品的频率为 =0.3，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；--------------（5分）
三等品的频率为=0.5，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．----------（6分）
（II）∵Z的可能取值为：2，3，4，5，6，8．
用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得
P（Z=2）=0.5×0.5=，P（Z=3）=2×=，
P（Z=4）=×=，P（Z=5）=2××=，
P（Z=6）=2××=，P（Z=8）==，
∴可得X的分布列如下：----------------------------------------------------（10分）

其数学期望EX=3.8（元）-----------------------------（12分）