Question

已知椭圆C₁：=1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率．
（I）求椭圆C₂的方程；
（II）设直线l与椭圆C₂相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（-2，0），点Q（0，y）在线段AB的垂直平分线上，且=4，求直线l的方程．

Answer

（I）设椭圆C2的方程，利用椭圆C1：=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆的方程；
（II）设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，设线段AB的中点为M，确定M的坐标，分类讨论，利用=4，即可得到结论．
【解析】
（I）设椭圆C2的方程为（a＞b＞0）
∵椭圆C1：=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率
∴a=2，e=
∴c=
∴
∴椭圆C2的方程为；
（II）点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．
与椭圆C2的方程联立，整理得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0
∴-2x1=，得x1=，从而y1=
设线段AB的中点为M，得到M的坐标为（）
①当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，
∴=（-2，-y），=（2，-y）．
由=4得y=±2，∴l的方程为y=0；
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得y=-
∴=（-2，-y），=（x1，y1-y）．
∴=（-2，-y）•（x1，y1-y）=+（）=4
∴7k2=2
∴，
∴l的方程为y=．