Question

设集合P⊆Z，且满足下列条件：
（1）∀x，y∈P，x+y∈P；       
（2）-1∉P；
（3）P中的元素有正数，也有负数； 
（4）P中存在是奇数的元素．
现给出如下论断：
①P可能是有限集；
②∃m，n∈P，mn∈P；
③0∈P；         
④2∉P．
其中正确的论断是    ． （写出所有正确论断的序号）

Answer

①P集合P={-3，0，3}满足四个条件，所以集合P可能是有限集；
③利用反证法，假设0不在P里面，不妨设P中的最小正整数为a，最大负整数为b，从而可引出矛盾；
②列举反例，可得结论；
④利用反证法，结合性质（1）引出矛盾．
【解析】
①集合P={-3，0，3}满足四个条件，所以集合P可能是有限集P，即①对；
③假设0不在P里面，不妨设P中的最小正整数为a，最大负整数为b，则a+b不为零，不妨设a＞-b，当a＞0且a+b＜a，又a+b在P中，这与a为P中的最小正整数矛盾，故0在P中，∴③对；
②∃m=0，n是奇数∈P，则mn=0∈P，∴②对
④若2∈P，又P中存在一个负奇数，不妨记为b，且b必小于等于-3，由性质（1），不断的运用性质（1），将数a不断的加2，肯定能得到-1属于P，与题意矛盾，故④对；
故答案为：①②③④