Question

已知椭圆C的对称中心为坐标原点，上焦点为F（0，1），离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；    
（Ⅱ）设A（m，0）（m＞0）为x轴上的动点，过点A作直线l与直线AF垂直，试探究直线l与椭圆C的位置关系．

Answer

（Ⅰ）由题意可知c，由离心率求出a，结合b2=a2-c2可求b，则椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）由题意知直线AF的斜率存在且求得其斜率，求出直线l的斜率，写出直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，写出判别式后由m的范围得到判别式的符号，从而直线和椭圆的位置关系．
【解析】
（Ⅰ）由条件可知c=1，∵e==，∴a=2，
则b2=a2-c2=4-1=3，所以b=，
所以椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）∵kAF=-，∴直线l的斜率k1=m，
则直线l：y=m（x-m）．
联立y=m（x-m）与，
有（4+3m2）x2-6m3x+3m4-12=0，
则△=36m6-4（4+3m2）•（3m4-12）=-48（m4-3m2-4）
=-48（m2+1）（m2-4）=-48（m2+1）（m-2）（m+2），
∵m＞0，∴m2+1＞0，m+2＞0，
则当0＜m＜2时，△＞0，此时直线l与椭圆C相交；   
当m=2时，△=0，此时直线l与椭圆C相切；  
当m＞2时，△＜0，此时直线l与椭圆C相离．