Question

已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，过F₂作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF₁的内切圆半径r的最大值．

Answer

（1）设出直线的方程，利用直线的截距式写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程．
（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到关于交点坐标的关系，写出△PQF1的面积并求出最大值，再将面积用外接圆的半径表示，求出半径的最大值．
【解析】
（1）直线AB 的方程为即bx-ay-ab=0
由题意得①
∵②
a2=b2+c2③
解得
∴椭圆的方程为
（2）设PQ：x=ty+代入
并整理得

设P（x1，y1），Q（x2，y2）则
，
∴
=
=
当即t2=1时，
∴
又∴
∴