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我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知F1、F...

我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是   
设F1P=m,F2P=n,F1F2=2c,由余弦定理4c2=m2+n2-mn,设a1是椭圆的长半轴,a1是双曲线的实半轴,由椭圆及双曲线定义,得m+n=2a1,m-n=2a1,由此能求出结果. 【解析】 设F1P=m,F2P=n,F1F2=2c, 由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos60°, 即4c2=m2+n2-mn, 设a1是椭圆的实半轴,a2是双曲线的实半轴, 由椭圆及双曲线定义,得m+n=2a1,m-n=2a2, ∴m=a1+a2,n=a1-a2, 将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a12-4a1a2+a12=0, a1=3a2,e1•e2==1, 解得e2=. 故答案为:.
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