Question

某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品，假定参与者答对每道填空题的概率为，答对每道选择题的概率为，且每位参与者答题互不影响．
（Ⅰ）求某位参与竞猜活动者得3分的概率；
（Ⅱ）设参与者获得纪念品的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer

（Ⅰ）确定某位参与竞猜活动者得3分，包括答对一道填空题且只答对一道选择题、答错填空题且答对三道选择题，求出相应的概率，即可得到结论；
（Ⅱ）确定随机变量ξ的取值，求出相应的概率，可得分布列与期望．
【解析】
（Ⅰ）答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为，
答错填空题且答对三道选择题的概率为（对一个4分）
∴某位参与竞猜活动者得3分的概率为；         …（7分）
（Ⅱ）由题意知随机变量ξ的取值有0，1，2，3，4．
又某位参与竞猜活动者得4分的概率为
某位参与竞猜活动者得5分的概率为
∴参与者获得纪念品的概率为…（11分）
∴，分布列为，k=0，1，2，3，4
即
 ξ  0  1  2  3  4
 P          

∴随机变量ξ的数学期望Eξ=．…（14分）