Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=，点E为线段AD上的一点．现将△DCE沿
线段EC翻折到PAC（点D与点P重合），使得平面PAC⊥平面ABCE，连接PA，PB．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且点E为线段AD的中点，求二面角P-AB-C的大小．

Answer

（Ⅰ）连接AC，BD交于点O，证明AC⊥BD，利用平面PAC⊥平面ABCE，可得BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角P-AB-C的大小．
（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，
∵AB=AD=4，
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，
∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）【解析】
如图，以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴建立空间直角坐标系，可设点P（x，0，z）
又，B（0，2，0），，，
由PE=2，有，解得，∴…（9分）
则有，设平面PAB的法向量为，
由，即，∴可取=（1，，2），…（12分）
又易取得平面ABC的法向量为（0，0，1），并设二面角P-AB-C的大小为θ，
∴，∴
∴二面角P-AB-C的大小为．…（14分）