Question

已知点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线l：x=4的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）已知曲线C与x轴的两交点为A、B，P是曲线C上异于A，B的动点，直线AP与曲线C在点B处的切线交于点D，当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer

（Ⅰ）设点M（x，y），利用条件可得等式，化简，可得曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，确定P的坐标，求出PF的方程，验证圆心到直线的距离，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）设点M（x，y），则据题意有
则4[（x-1）2+y2]=（x-4）2，
即3x2+4y2=12，∴
故曲线C的方程为，…（5分）
（Ⅱ）如图由曲线C方程知A（-2，0），B（2，0），在点B处的切线方程为x=2．
以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0．
设点P的坐标为（x，y），则-2x=．
所以x=，y=．    …（7分）
因为点F坐标为（1，0），
当k=±时，点P的坐标为（1，），点D的坐标为（2，±2）．
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆与直线PF相切．
当k≠±时，则直线PF的斜率=．
所以直线PF的方程为y=．
点E到直线PF的距离=2|k|．
又因为|BD|=2R=4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．…（15分）