Question

已知函数f（x）=（其中a为常数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；
（Ⅱ） 当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃．证明：x₁+x₃＞．

Answer

（Ⅰ）求导数，利用导数不等式求单调区间．
（Ⅱ）利用导数结合函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，构造函数，利用单调性去判断．
【解析】
（Ⅰ） 
令f'（x）=0可得．列表如下：

x （0，1）
f'（x） - - +
f（x） 减 减 极小值 增

单调减区间为（0，1），；增区间为．------------（5分）
（Ⅱ）由题，
对于函数，有
∴函数h（x）在上单调递减，在上单调递增
∵函数f（x）有3个极值点x1＜x2＜x3，
从而，所以，
当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a-1＜0，
∴函数f（x）的递增区间有（x1，a）和（x3，+∞），递减区间有（0，x1），（a，1），（1，x3），
此时，函数f（x）有3个极值点，且x2=a；
∴当0＜a＜1时，x1，x3是函数的两个零点，----（9分）
即有，消去a有2x1lnx1-x1=2x3lnx3-x3
令g（x）=2xlnx-x，g'（x）=2lnx+1有零点，且
∴函数g（x）=2xlnx-x在上递减，在上递增
要证明    ⇔⇔
因为g（x1）=g（x3），所以即证
构造函数，则
只需要证明单调递减即可．而，，所F'（x）在上单调递增，
所以．
∴当0＜a＜1时，．--------（15分）