Question

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

Answer

（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；
（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；
（3）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．
（1）【解析】
由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．…（1分）
解得a=0.03．…（2分）
（2）【解析】
根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1-10×（0.005+0.01）=0.85．…（3分）
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人． …（5分）
（3）【解析】
成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．…（6分）
成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．…（7分）
若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．…（9分）
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．…（11分）
所以所求概率为．…（12分）