Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A₁BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A₁B的长度最小，并求出最小值．

Answer

（I）由题意，得DE⊥AD且DE⊥DC，从而DE⊥平面A1DC．结合DE∥BC，得BC⊥平面A1DC，由面面垂直判定定理即可得到平面A1BC⊥平面A1DC；
（II）以D为原点，DE、DC、DA1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示直角坐标系，可得A1、B、C、E各点的坐标，从而得到向量的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出是平面A1BC的一个法向量，利用向量的夹角公式算出的夹角余弦值，即可得到BE与平面A1BC所成角的余弦值；
（III）设CD=x，得A1D=6-x，从而得到A1、B的坐标，由两点的距离公式得到用x表示|A1B|的式子，利用二次函数的性质即可求出A1B的长度的最小值．
【解析】
（Ⅰ）在图1中△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，∴DE⊥AC
由此可得图2中，DE⊥AD，DE⊥DC，
又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC．
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，
又∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC…（4分）
（Ⅱ）由（1）知A1D⊥DE，A1D⊥DC，DC⊥DE，
故以D为原点，DE、DC、DA1分别为x、y、z轴建立直角坐标系．
则E（2，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），A1（0，0，4）
∴，
设平面A1BC的一个法向量为，
则，取y=2可得，
设直线BE与平面A1BC所成角θ，
可得=
即直线BE与平面A1BC所成角的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）设CD=x，则A1D=6-x，
在（II）的坐标系下，可得B（3，x，0），A1（0，0，6-x），
∴=，
∵2x2-12x+45=2（x-3）2+27，∴当x=3时，的最小值为．
由此可得当x=3时，|A1B|最小值为．…（12分）