Question

某市城调队就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1500，2000），单位：元）．

（Ⅰ）求随机抽取一位居民，估计该居民月收入在[2500，3500）的概率，并估计这10000人的人均月收入；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500）上居民人数x的数学期望．

Answer

（Ⅰ）利用频率是纵坐标乘以组距，可求居民月收入在[2500，3500）的概率；
（Ⅱ）确定X～B（3，0.5），求出概率，可得分布列与数学期望．
【解析】
（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[2500，3500）上的概率为（0.0005+0.0005）×500=0.5；
（Ⅱ）由题意知，X～B（3，0.5），
因此P（X=0）==0.125，P（X=1）==0.375，
P（X=2）==0.375，P（X=4）==0.125
故随机变量X的分布列为

X 1 2 3
P 0.125 0.375 0.375 0.125

X的数学期望为EX=0×0.125+1×0.375+2×0.375+3×0.125=1.4．