Question

已知函数f_t（x）=（t-x），其中t为正常数．
（Ⅰ）求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）设数列{a_n}满足：a₁=，3a_n+1=a_n+2，（1）求数列{a_n}的通项公式a_n； （2）证明：对任意的x＞0，（x）（n∈N^*）；
（Ⅲ）证明：．

Answer

（Ⅰ）求导数，确定ft（x）在区间（0，t）上单调递增，在区间（t，+∞）上单调递减，从而可求函数ft（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）（1）证明数列{an-1}为等比数列，即可求数列{an}的通项公式an； 
（2）证法一：从已有性质结论出发；证法二：作差比较法，即可得到结论；
（Ⅲ）证法一：从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩；证法二：应用柯西不等式实现结构放缩，即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
由，可得，…（2分）
所以，，，…（3分）
则ft（x）在区间（0，t）上单调递增，在区间（t，+∞）上单调递减，
所以，．…（4分）
（Ⅱ）（1）【解析】
由3an+1=an+2，得，又，
则数列{an-1}为等比数列，且，…（5分）
故为所求通项公式．…（6分）
（2）证明：即证对任意的x＞0，（n∈N*）…（7分）
证法一：（从已有性质结论出发）
由（Ⅰ）知…（9分）
即有对于任意的x＞0恒成立．…（10分）
证法二：（作差比较法）
由及…（8分）
=…（9分）
即有对于任意的x＞0恒成立．…（10分）
（Ⅲ）证明：证法一：（从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩）
由（Ⅱ）知，对于任意的x＞0都有，
于是，=
…（11分）对于任意的x＞0恒成立
特别地，令，即，…（12分）
有，故原不等式成立．…（14分）
证法二：（应用柯西不等式实现结构放缩）
由柯西不等式：
其中等号当且仅当xi=kyi（i=1，2，…n）时成立．
令，，可得
则
而由，所以
故，所证不等式成立．