Question

点P是双曲线的上支上的一点，F₁，F₂分别为双曲线的上、下焦点，则△PF₁F₂的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是（ ）
A．y=-3
B．y=3
C．x²+y²=5
D．y=3x²-2

Answer

根据题意，设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点C，由圆的切线长定理得|PA|=|PB|，|F1B|=|F1C|且|F2A|=|F2C|，结合双曲线的定义算出在实轴上的切点C坐标为（0，3）．因为CM⊥y轴，所以得到CM所在直线方程为y=3，得到本题答案．
【解析】
∵双曲线的方程为，
∴a2=9，b2=16，得c==5
设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点C，
则|PA|=|PB|，|F1B|=|F1C|，|F2A|=|F2C|，
又∵点P在双曲线上支上，
∴|PF2|-|PF1|=2a=6，
即（|F2A|+|PA|）-（|F1B|+|PB|）=6，化简得|F2A|-|F1B|=6，
即|F2C|-|F1C|=6，而|F1C|+|F2C|=2c=10，
设C点坐标为（0，λ），由|F2C|-|F1C|=6可得（λ+5）-（5-λ）=6
解之得λ=3，得C的坐标为（0，3）
∵圆M与F1F2切于点C，
∴CM⊥y轴，可得CM所在直线方程为y=3