Question

已知函数f（x）=2x-a（a∈N^*、x∈R），数列a_n满足a₁=-a，a_n+1-a_n=f（n）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）当a₅与a₆这两项中至少有一项为a_n中的最小项时，求a的值；
（3）若数列b_n满足对∀n∈N^*，都有b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n+1成立，求数列{b_n}中的最大项．

Answer

（1）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）-a，由此能求出它的通项公式．
（2）an=n2-（1+a）n是关于n的二次函数，二次项系数为1（＞0），所以“a5与a6这两项中至少有一项为an中的最小项”当且仅当，9≤a≤11，由此能求出a的值．
（3）由b1+2b2+22b3++2n-1bn=an+1得2n-1bn=an+1-an=f（n）=2n-a，从而bn=21-n（2n-a），由此分别讨论，能求出数列{bn}中的最大项．
【解析】
（1）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）-a=n（n-1-a）．
（2）an=n2-（1+a）n是关于n的二次函数，二次项系数为1（＞0），
所以“a5与a6这两项中至少有一项为an中的最小项”当且仅当，9≤a≤11，a=9、10、11．

（3）由b1+2b2+22b3++2n-1bn=an+1得2n-1bn=an+1-an=f（n）=2n-a，从而bn=21-n（2n-a），解
即得
若a=2k（k∈N*）是偶数，则最小项为bk+1=bk+2=21-k；
若a=2k-1（k∈N*）是奇数，则最小项为bk+1=3×2-k．