Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁CC₁⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°
（1）求二面角D-A₁A-C的大小．
（2）求点B₁到平面A₁ADD₁的距离
（3）在直线CC₁上是否存在P点，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置；若不存在，说出理由．

Answer

（1）设BD与AC交于O，作OK⊥AA1于K，连接DK，则DK⊥AA1，OD⊥OK，故∠DKO为二面角D-A1A-C的平面角，从而可求二面角D-A1A-C的大小．
（2）连结A1O、A1B，由于B1B∥平面A1A DD1，所以B、B1到平面A1A DD1的距离相等，由，可求点B1到平面A1ADD1的距离；
（3）存在，点P在C1C的延长线上且CP=C1C，利用线面平行的判定定理，可得结论．
【解析】
（1）设BD与AC交于O，作OK⊥AA1于K，连接DK，则DK⊥AA1，OD⊥OK，
故∠DKO为二面角D-A1A-C的平面角，
∵∠OAK=60°，∴OK=
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO==
∴tan∠DKO=2，
∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是
∴二面角D-A1A-C的大小为；
（2）连结A1O、A1B，由于B1B∥平面A1A DD1，所以B、B1到平面A1A DD1的距离相等，
设点B到平面A1A DD1的距离等于h．
在△AA1O中，=3
∴
∴A1O⊥AO
而平面A A1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD
由上述第（1）问有，ED⊥A1A1且=
∴==
又==
由有
∴=
即点B1到平面A1ADD1的距离
（3）存在，点P在C1C的延长线上且CP=C1C，证明如下：
延长C1C到P使CP=C1C，连接B1C，BP，则BP∥B1C
∴BP∥A1D
又A1D 平面⊂DA1C1，BP⊄平面DA1C1，
∴BP∥平面DA1C1．