Question

如图，双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线为l₁，l₂，离心率为，P₁∈l₁，P₂∈l₂，且，（λ＞0），P在双曲线C右支上．
（1）若△P₁OP₂的面积为6，求t的值；
（2）t=5时，求a最大时双曲线C的方程．

Answer

（1）依题意，由e==可求得b=a，设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线l1：y=x的倾斜角为θ，可求得tanθ=，tan∠P1OP2=tan2θ=，继而可求得cos2θ=，sin2θ=，由•=t，=6即可求得t．
（2）t=5时，可求得||•||=13，利用余弦定理可求得|P1P2|，再利用基本不等式可求得|P1P2|≥16，最后利用即可求得a最大时的值，从而可求得此时双曲线C的方程．
【解析】
（1）依题意，e==，
∴e2===，a＞0，b＞0，
∴b=a，设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线l1：y=x的倾斜角为θ，
则tanθ=，tan∠P1OP2=tan2θ=，
∴cos2θ=，sin2θ=；
∵•=||•||•cos∠P1OP2=||•||×=t，
=||•||•sin∠P1OP2=||•||×=6
∴||•||=13．
∴t=||•||×=13×=5．
（2）∵t=||•||×=5，
∴||•||=13．
∴由余弦定理得：=+-2||•||cos∠P1OP2
≥2||•||（1-cos∠P1OP2）
=2×13×=16（当且仅当||=||时取“=”）．
∴|P1P2|≥4（当且仅当||=||时取“=”）．
∵=λ（λ＞0），
∴P2、P、P1三点共线，又P在双曲线C右支上，
∵=||•||•sin∠P1OP2=||•||×=6，
又=|P1P2|•h（h为原点O到直线P1P2的距离），
∴当||=||=时，|P1P2|取得最小值4，h取到最大值，此时h=a，即双曲线C的方程中的a取到最大值．
∴×4a=6，
∴a=3，b=2．
∴双曲线的方程为：-=1．