Question

F₁，F₂分别是双曲线-=1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF₁F₂的内心，且S_△IPF2=S_△IPF1-S_△IF1F₂，则双曲线的离心率e=    ．

Answer

先根据题意作出示意图，如图所示，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式S△IPF2=S△IPF1-S△IF1F2，化简可得|PF1|-|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．
【解析】
如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是
△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，
∴S△IPF1=×|PF1|×|IF|=|PF1|，
S△IPF2=×|PF2|×|IG|=|PF2|
S△IF1F2=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．
∵S△IPF2=S△IPF1-S△IF1F2，
∴|PF2|=|PF1|-|F1F2|
两边约去 得：|PF2|=|PF1|-|F1F2|
∴|PF1|-|PF2|=|F1F2|
根据双曲线定义，得|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴3a=2c⇒离心率为e==．
故答案为：．