Question

已知函数f（x）=在区间[0，]上的最大值为2．
（Ⅰ）求常数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为，求边长a．

Answer

（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为，再根据正弦函数的单调性求得函数
在区间[0，]上的最大值，再由函数在区间[0，]上的最大值为2，求得m的值．
（2）由f（A）=1，求得，解得A的值．因为sinB=3sinC，由正弦定理求得b=3c．因为△ABC
面积为，求得bc=3．由此解得b和c的值，再由余弦定理求得a的值．
【解析】
（1）由于 =，-----（2分）
因为，所以．-------（3分）
因为函数y=sint在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以当，即时，函数f（x）在区间上取到最大值为2．----（5分）
此时，，得m=-1．-------（6分）
（2）因为f（A）=1，所以，
即，解得A=0（舍去）或．----（8分）
因为sinB=3sinC，，所以b=3c．①-------（10分）
因为△ABC面积为，所以，即bc=3．-----②
由①和②解得b=3，c=1．-------（12分）
因为，所以．---（14分）